Teoria de escalas bien formadas

Intervalos específicos

En lo que se refiere a la práctica musical real, el hecho histórico relevante es que la gente ha interiorizado evidentemente el conjunto de tonos diatónicos -llevándolo en sus cabezas como un medio de organizar, recibir y reproducir patrones de sonido significativos- desde lo que ahora es el comienzo mismo de la historia musical registrada, hace unos tres milenios y medio.

[4] Este artículo comienza a explorar las correspondencias transdisciplinarias entre la teoría de la palabra y la teoría de las escalas. No se trata simplemente de traducir las concepciones teórico-musicales existentes a una nueva terminología (aunque eso en sí mismo no es trivial), sino de mapear las construcciones teórico-palabras a la teoría musical para crear nuevas comprensiones teórico-musicales.

[6] Sea A = {a, b}. Se pueden definir mapeos f: A* → A* -las llamadas reglas de reescritura uniformes- simplemente especificando dos palabras f(a) y f(b) que sustituyan uniformemente todas las apariciones de las letras a y b, respectivamente. Por ejemplo, si se sustituye a por f(a) = aaba y b por f(b) = aab, se induce una reescritura de la palabra w = ab como f(w) = aabaaab. La uniformidad significa que por construcción el mapa f es un endomorfismo monoide de A*, es decir, f(uv) = f(u)f(v) ∈ A*, siempre que u y v sean palabras en A*. Nos interesa una subfamilia particular de endomorfismos de monoides, que se denominan sturmianos en la literatura, denotados St. Los elementos de St son composiciones de los siguientes cinco morfismos, G, G~, D, D~, y E:(2)

Teoría diatónica

Las escalas son un concepto fundamental de la práctica musical en todo el mundo. Suelen presentar propiedades de simetría que se estudian formalmente mediante grupos cíclicos en el campo de la teoría matemática de las escalas. Este trabajo propone un marco axiomático para la teoría matemática de las escalas, incorpora investigaciones anteriores y presenta la teoría de las escalas máximamente pares y las escalas bien formadas de manera uniforme y compacta. Todos los teoremas y lemmata se demuestran completamente en una notación moderna y consistente. En particular, se presentan nuevas pruebas simplificadas de teoremas ya existentes, como la equivalencia de la bien formada no degenerada y la propiedad de Myhill. Este modelo de escalas musicales formaliza y utiliza explícitamente la relación de orden cíclico de las clases de tono.

Propiedad de la escala profunda

En la teoría de conjuntos diatónicos, una colección generada es una colección o escala formada por la adición repetida de un intervalo constante en notación entera, el generador, también conocido como ciclo de intervalo, alrededor del círculo cromático hasta que se forma una colección o escala completa. Todas las escalas con la propiedad de escala profunda pueden ser generadas por cualquier intervalo coprimo con (en el temperamento igual de doce tonos) doce. (Johnson, 2003, p. 83)

La colección diatónica de C mayor puede generarse añadiendo un ciclo de quintas perfectas (C7) que comienza en F: F-C-G-D-A-E-B = C-D-E-F-G-A-B. Utilizando la notación entera y el módulo 12: 5 + 7 = 0, 0 + 7 = 7, 7 + 7 = 2, 2 + 7 = 9, 9 + 7 = 4, 4 + 7 = 11.

Una colección generada para la que un único intervalo genérico corresponde al único generador o ciclo de intervalo utilizado es una colección generada MOS (por “momento de simetría”[1]) o bien formada. Por ejemplo, la colección diatónica está bien formada, ya que la quinta perfecta (el intervalo genérico 4) corresponde al generador 7. Aunque no todas las quintas de la colección diatónica son perfectas (Si-F es una quinta disminuida, un tritono o un 6), una colección generada bien formada sólo tiene un intervalo específico entre los miembros de la escala (en este caso el 6), que corresponde al intervalo genérico (4, una quinta) pero no al generador (7). Las escalas pentatónicas mayores y menores también están bien formadas. (Johnson, 2003, p. 83)

Propiedad de myhill

En la teoría de las escalas (musicales), un conjunto (escala) máximamente par es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos enteros consecutivos de tamaño de intervalo específico; en otras palabras, una escala cuyas notas (pcs) están “repartidas lo más posible”. Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett[1]. Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo de máxima igualdad. Para una cardinalidad cromática c, un conjunto de piezas D de cardinalidad d es maximalmente enen si y sólo si existe un número entero m, 0 ≤ m ≤ c – 1 tal que

donde k va de 0 a d – 1. Se puede encontrar una excelente discusión sobre estos conceptos en el libro de Timothy Johnson sobre los fundamentos matemáticos de la teoría de las escalas diatónicas.[2] Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron los conjuntos máximamente pares en la literatura matemática.[3][4] Douthett y Krantz comparan conjuntos de igual cardinalidad y miden su “paridad” con una función de ponderación convexa (cóncava) llamada interacción. Llaman a los conjuntos con el menor (mayor, resp.) peso máximamente par. Luego demuestran que estos conjuntos son precisamente los definidos por Clough y Douthett como máximamente pares.